Gibbsian properties : examples of failures and an application

Korte samenvatting:
Dit proefschrift beschrijft het onderzoek naar het behoud, of verlies, van Gibbs eigenschappen na toepassing van transformaties op een Gibbs systeem.
Het onderzoek is gericht op roostersystemen, ``mean-field'' systemen en systemen met een boomstructuur. In alle gevallen wordt uitgegaan van stochastisch verdeelde Bernoulli variabelen, ``spins'', met waarden +1 of -1 op de knooppunten. De onderzochte transformaties beschrijven de spin-flip dynamica waarbij de waarde van iedere spin met zekere kans omklapt.

Voor de systemen gebaseerd op een boomstructuur worden verschillende mechanismen besproken die tot verlies van Gibbs eigenschappen leiden.
Er zijn nieuwe, tot op heden onbekende, soorten niet-Gibbs eigenschappen ontdekt, waarin iedere configuratie een discontinu{"i}teitpunt (in de product topologie) is. Bomen onderscheiden zich van reguliere roosters doordat de rand van een (groot) volume van dezelfde orde als het hele volume is.

Vervolgens wordt aandacht besteed aan een ``mean-field'' model in een verwaarloosbaar klein magnetisch veld. In deze situatie zijn er twee bepalende grootheden, namelijk de begin-temperatuur van het systeem en de temperatuur van de dynamica. De relatieve eenvoud van dit probleem maakt een opdeling mogelijk van het ``tijd x initi{"e}le temperatuur'' vlak bij een vaste dynamica temperatuur, in gebieden waarbij voorwaardelijke verdelingen wel of geen discontinu{"i}teit vertonen.

Tot slot wordt ingegaan op een separaat onderwerp namelijk het verband tussen Markov ketens met variabele lengte (VLMC) en de Gibbs grootheden. Het Gibbs-formalisme wordt toegepast op zogenaamde classificatie problemen, waarbij de superioriteit ten opzichte van de VLMC aanpak wordt aangetoond.

Abstract:
The present thesis investigates further under which conditions the transformation of the originally Gibbs system preserves or loses its Gibbs property. This question is addressed for systems living on a complete graph or a tree.

The former type of system is referred to as a mean-field system. In either case we consider Bernoulli random variables --- spins --- at nodes of the graph taking either +1 or -1 values.
The transformations of interest are spin-flip dynamics altering value of each of the spins to an opposite one.
For tree models we discuss different mechanisms leading to non-Gibbsianness revealing previously not discovered type of non-Gibbsianness, when any configuration within a finite region is
a discontinuity point. This result underlines the importance of the size of a boundary of a finite region, this is to be contrasted with similar models living on lattices.

Further we draw attention to a mean-field model in vanishing external magnetic field.
In this case there are two governing parameters: the initial temperature of the system and the temperature of the dynamics. The relative simplicity of the problem allows to decompose the ``time x initial temperature'' plane at fixed dynamical temperature into regions where conditional distributions have discontinuities and where they do not.
Finally, the last part standing relatively apart from the main topic discusses connection between variable length Markov chains and Gibbs measures. We apply the Gibbs formalism for classification problems (where VLMC were of great use) and see the superiority of the Gibbsian approach.

	thesis.pdf
	Titel
	Dankwoord
	Inhoud
	Hoofdstuk 1
	Hoofdstuk 2
	Hoofdstuk 3
	Hoofdstuk 4
	Hoofdstuk 5
	Bijlagen
	Nedelandse samenvatting
	English summary
	Russische samwenvatting
	Literatuurverwijzing

Meer informatie in de catalogus
Meer informatie in Picarta

Afdrukken op bestelling.